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# math.h
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`math.h`头文件提供了很多数学函数。
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很多数学函数的返回值是 double 类型，但是同时提供 float 类型与 long double 类型的版本，比如`pow()`函数就还有`powf()`和`powl()`版本。
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```c
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double pow(double x, double y);
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float powf(float x, float y);
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long double powl(long double x, long double y);
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```
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为了简洁，下面就略去了函数的`f`后缀（float 类型）和`l`后缀（long double）版本。
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## 类型和宏
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math.h 新定义了两个类型别名。
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- float_t：（当前系统）最有效执行 float 运算的类型，宽度至少与 float 一样。
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- double_t：（当前系统）最有效执行 double 运算的类型，宽度至少与 double 一样。
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它们的具体类型可以通过宏`FLT_EVAL_METHOD`来了解。
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| FLT_EVAL_METHOD 的值 | float_t 对应的类型 | double_t 对应的类型 |
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|-----------------|--------------|--------------|
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| 0 | float | double |
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| 1 | double | double |
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| 2 | long double | long double |
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| 其他 | 由实现决定 | 由实现决定 |
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math.h 还定义了一些宏。
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- `INFINITY`：表示正无穷，返回一个 float 类型的值。
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- `NAN`：表示非数字（Not-A-Number），返回一个 float 类型的值。
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## 错误类型
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数学函数的报错有以下类型。
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- Range errors：运算结果不能用函数返回类型表示。
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- Domain errors：函数参数不适用当前函数。
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- Pole errors：参数导致函数的极限值变成无限。
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- Overflow errors：运算结果太大，导致溢出。
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- Underflow errors：运算结果太小，导致溢出。
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变量`math_errhandling`提示了当前系统如何处理数学运算错误。
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| math_errhandling 的值 | 描述 |
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|-----------------------|-----|
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| MATH_ERRNO | 系统使用 errno 表示数学错误 |
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| MATH_ERREXCEPT | 系统使用异常表示数学错误 |
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| MATH_ERREXCEPT | 系统同时使用两者表示数学错误 |
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## 数值类型
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数学函数的参数可以分成以下几类：正常值，无限值，有限值和非数字。
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下面的函数用来判断一个值的类型。
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- fpclassify()：返回给定浮点数的分类。
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- isfinite()：如果参数不是无限或 NaN，则为真。
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- isinf()：如果参数是无限的，则为真。
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- isnan()：如果参数不是数字，则为真。
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- isnormal()：如果参数是正常数字，则为真。
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下面是一个例子。
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```c
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isfinite(1.23) // 1
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isinf(1/tan(0)) // 1
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isnan(sqrt(-1)) // 1
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isnormal(1e-310)) // 0
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```
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## signbit()
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`signbit()`判断参数是否带有符号。如果参数为负值，则返回1，否则返回0。
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```c
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signbit(3490.0) // 0
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signbit(-37.0) // 1
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```
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## 三角函数
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以下是三角函数，参数为弧度值。
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- acos()：反余弦。
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- asin()：反正弦。
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- atan()：反正切
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- atan2()：反正切。
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- cos()：余弦。
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- sin()：正弦。
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- tan()：正切。
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不要忘了，上面所有函数都有 float 版本（函数名加上 f 后缀）和 long double 版本（函数名加上 l 后缀）。
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下面是一个例子。
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```c
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cos(PI/4) // 0.707107
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```
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## 双曲函数
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以下是双曲函数，参数都为浮点数。
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- acosh()：反双曲余弦。
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- asinh()：反双曲正弦。
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- atanh()：反双曲正切。
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- cosh()：双曲余弦。
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- tanh()：双曲正切。
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- sinh()：双曲正弦。
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## 指数函数和对数函数
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以下是指数函数和对数函数，它们的返回值都是 double 类型。
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- exp()：计算欧拉数 e 的乘方，即 e<sup>x</sup>。
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- exp2()：计算 2 的乘方，即 2<sup>x</sup>。
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- expm1()：计算 e<sup>x</sup> - 1。
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- log()：计算自然对数，`exp()`的逆运算。
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- log2()：计算以2为底的对数。
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- log10()：计算以10为底的对数。
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- logp1()：计算一个数加 1 的自然对数，即`ln(x + 1)`。
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- logb()：计算以宏`FLT_RADIX`（一般为2）为底的对数，但只返回整数部分。
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下面是一些例子。
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```c
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exp(3.0) // 20.085500
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log(20.0855) // 3.000000
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log10(10000) // 3.000000
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```
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如果结果值超出了 C 语言可以表示的最大值，函数将返回`HUGE_VAL`，它是一个在`math.h`中定义的 double 类型的值。
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如果结果值太小，无法用 double 值表示，函数将返回0。以上这两种情况都属于出错。
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## frexp()
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`frexp()`将参数分解成浮点数和指数部分（2为底数），比如 1234.56 可以写成 0.6028125 * 2<sup>11</sup>，这个函数就能分解出 0.6028125 和 11。
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```c
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double frexp(double value, int* exp);
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```
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它接受两个参数，第一个参数是用来分解的浮点数，第二个参数是一个整数变量指针。
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它返回小数部分，并将指数部分放入变量`exp`。如果参数为`0`，则返回的小数部分和指数部分都为`0`。
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下面是一个例子。
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```c
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double frac;
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int expt;
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// expt 的值是 11
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frac = frexp(1234.56, &expt);
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// 输出 1234.56 = 0.6028125 x 2^11
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printf("1234.56 = %.7f x 2^%d\n", frac, expt);
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```
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## ilogb()
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`ilogb()`返回一个浮点数的指数部分，指数的基数是宏`FLT_RADIX`（一般是`2`）。
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```c
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int ilogb(double x);
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```
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它的参数为`x`，返回值是 log<sub>r</sub>|x|，其中`r`为宏`FLT_RADIX`。
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下面是用法示例。
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```c
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ilogb(257) // 8
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ilogb(256) // 8
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ilogb(255) // 7
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```
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## ldexp()
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`ldexp()`将一个数乘以2的乘方。它可以看成是`frexp()`的逆运算，将小数部分和指数部分合成一个`f * 2^n`形式的浮点数。
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```c
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double ldexp(double x, int exp);
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```
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它接受两个参数，第一个参数是乘数`x`，第二个参数是2的指数部分`exp`，返回“x * 2<sup>exp</sup>”。
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```c
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ldexp(1, 10) // 1024.000000
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ldexp(3, 2) // 12.000000
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ldexp(0.75, 4) // 12.000000
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ldexp(0.5, -1) // 0.250000
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```
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## modf()
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`modf()`函数提取一个数的整数部分和小数部分。
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```c
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double modf(double value, double* iptr);
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```
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它接受两个参数，第一个参数`value`表示待分解的数值，第二个参数是浮点数变量`iptr`。返回值是`value`的小数部分，整数部分放入变量`double`。
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下面是一个例子。
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```c
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// int_part 的值是 3.0
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modf(3.14159, &int_part); // 返回 0.14159
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```
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## scalbn()
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`scalbn()`用来计算“x * r<sup>n</sup>”，其中`r`是宏`FLT_RADIX`。
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```c
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double scalbn(double x, int n);
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```
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它接受两个参数，第一个参数`x`是乘数部分，第二个参数`n`是指数部分，返回值是“x * r<sup>n</sup>”。
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下面是一些例子。
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```c
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scalbn(2, 8) // 512.000000
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```
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这个函数有多个版本。
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- scalbn()：指数 n 是 int 类型。
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- scalbnf()：float 版本的 scalbn()。
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- scalbnl()：long double 版本的 scalbn()。
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- scalbln()：指数 n 是 long int 类型。
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- scalblnf()：float 版本的 scalbln()。
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- scalblnl()：long double 版本的 scalbln()。
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## round()
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`round()`函数以传统方式进行四舍五入，比如`1.5`舍入到`2`，`-1.5`舍入到`-2`。
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```c
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double round(double x);
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```
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它返回一个浮点数。
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下面是一些例子。
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```c
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round(3.14) // 3.000000
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round(3.5) // 4.000000
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round(-1.5) // -2.000000
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round(-1.14) // -1.000000
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```
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它还有一些其他版本。
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- lround()：返回值是 long int 类型。
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||
- llround()：返回值是 long long int 类型。
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## trunc()
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`trunc()`用来截去一个浮点数的小数部分，将剩下的整数部分以浮点数的形式返回。
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```c
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double trunc(double x);
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```
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下面是一些例子。
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```c
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trunc(3.14) // 3.000000
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trunc(3.8) // 3.000000
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trunc(-1.5) // -1.000000
|
||
trunc(-1.14) // -1.000000
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```
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## ceil()
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`ceil()`返回不小于其参数的最小整数（double 类型），属于“向上舍入”。
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```c
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double ceil(double x);
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```
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下面是一些例子。
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```c
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ceil(7.1) // 8.0
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ceil(7.9) // 8.0
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ceil(-7.1) // -7.0
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||
ceil(-7.9) // -7.0
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```
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## floor()
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`floor()`返回不大于其参数的最大整数，属于“向下舍入”。
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```c
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double floor(double x);
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```
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下面是一些例子。
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```c
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floor(7.1) // 7.0
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floor(7.9) // 7.0
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floor(-7.1) // -8.0
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||
floor(-7.9) // -8.0
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```
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下面的函数可以实现“四舍五入”。
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```c
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double round_nearest(double x) {
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return x < 0.0 ? ceil(x - 0.5) : floor(x + 0.5);
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}
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```
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## fmod()
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`fmod()`返回第一个参数除以第二个参数的余数，就是余值运算符`%`的浮点数版本，因为`%`只能用于整数运算。
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```c
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double fmod(double x, double y);
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```
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它在幕后执行的计算是`x - trunc(x / y) * y`，返回值的符号与`x`的符号相同。
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```c
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fmod(5.5, 2.2) // 1.100000
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fmod(-9.2, 5.1) // -4.100000
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fmod(9.2, 5.1) // 4.100000
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```
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## 浮点数比较函数
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以下函数用于两个浮点数的比较，返回值的类型是整数。
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- isgreater()：返回`x > y`的结果。
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- isgreaterequal()：返回`x >= y`的结果。
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- isless()：返回`x < y`的结果。
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- islessequal()：返回`x <= y`的结果。
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- islessgreater()：返回`(x < y) || (x > y)`的结果。
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下面是一些例子。
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```c
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isgreater(10.0, 3.0) // 1
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isgreaterequal(10.0, 10.0) // 1
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isless(10.0, 3.0) // 0
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islessequal(10.0, 3.0) // 0
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islessgreater(10.0, 3.0) // 1
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||
islessgreater(10.0, 30.0) // 1
|
||
islessgreater(10.0, 10.0) // 0
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```
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## isunordered()
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||
`isunordered()`返回两个参数之中，是否存在 NAN。
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```c
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int isunordered(any_floating_type x, any_floating_type y);
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```
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下面是一些例子。
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```c
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||
isunordered(1.0, 2.0) // 0
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isunordered(1.0, sqrt(-1)) // 1
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||
isunordered(NAN, 30.0) // 1
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||
isunordered(NAN, NAN) // 1
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```
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## 其他函数
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下面是 math.h 包含的其它函数。
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- pow()：计算参数`x`的`y`次方。
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- sqrt()：计算一个数的平方根。
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- cbrt()：计算立方根。
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- fabs()：计算绝对值。
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- hypot()：根据直角三角形的两条直角边，计算斜边。
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||
- fmax()：返回两个参数之中的最大值。
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- fmin()：返回两个参数之中的最小值。
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- remainder()：返回 IEC 60559 标准的余数，类似于`fmod()`，但是余数范围是从`-y/2`到`y/2`，而不是从`0`到`y`。
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||
- remquo()：同时返回余数和商，余数的计算方法与`remainder()`相同。
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||
- copysign()：返回一个大小等于第一个参数、符号等于第二个参数的值。
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||
- nan()：返回 NAN。
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||
- nextafter()：获取下一个（或者上一个，具体方向取决于第二个参数`y`）当前系统可以表示的浮点值。
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- nextoward()：与`nextafter()`相同，除了第二个参数是 long double 类型。
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||
- fdim()：如果第一个参数减去第二个参数大于`0`，则返回差值，否则返回`0`。
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||
- fma()：以快速计算的方式，返回`x * y + z`的结果。
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||
- nearbyint()：在当前舍入方向上，舍入到最接近的整数。当前舍入方向可以使用`fesetround()`函数设定。
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||
- rint()：在当前舍入方向上，舍入到最接近的整数，与`nearbyint()`相同。不同之处是，它会触发浮点数的`INEXACT`异常。
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||
- lrint()：在当前舍入方向上，舍入到最接近的整数，与`rint()`相同。不同之处是，返回值是一个整数，而不是浮点数。
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||
- erf()：计算一个值的误差函数。
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||
- erfc()：计算一个值的互补误差函数。
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||
- tgamma()：计算 Gamma 函数。
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||
- lgamma()：计算 Gamma 函数绝对值的自然对数。
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||
下面是一些例子。
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```c
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pow(3, 4) // 81.000000
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sqrt(3.0) // 1.73205
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||
cbrt(1729.03) // 12.002384
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||
fabs(-3490.0) // 3490.000000
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||
hypot(3, 4) // 5.000000
|
||
fmax(3.0, 10.0) // 10.000000
|
||
fmin(10.0, 3.0) // 3.000000
|
||
```
|